تا آخر باشند آن وقت ضرب يكى از دو طرف آنها در ديگرى مانند ضرب هر دو عدد بعد آنها از دو طرف خواهد بود كه به يك اندازهء بعد آنها باشد و مانند مربع واسطه ( عدد وسط ) در صورتى كه عدهء اعداد فرد باشند و آن مانند اعداد زوج الزوج متوالى از 2 تا 4 و 16 مىباشند و مانند آنچه از خواص عددى در وضع مثلثات عددى و مربعات و مخمسات و مسدّسات حادث مىشود هر گاه بطور پياپى در سطور خود قرار گرفته باشند بدان سان كه از يك تا عدد اخير جمع شوند و مثلث باشند و مثلثات متوالى همچنين در يك سطر زير اضلاع پياپى واقع شوند سپس بر مثلث ضلعى

--> [ ( ) ] اختلاف عدد ششم ( 21 ) با عدد پنجم ( 15 ) برابر شش مىباشد . ثانيا هشت برابر هر عدد مثلث به اضافهء واحد مجذور تام است . 2 . 5 25 1 3 X 8 2 . 7 49 1 6 X 8 2 . 9 81 1 10 X 8 ثالثا مجموع دو عدد مثلث متوالى همواره يك عدد مربع است . 25 15 10 مجذور هر عدد كه قوهء دوم همان عدد است هنوز هم بنام مربع موسوم است ، زيرا با ترتيبى كه قدما اين عدد را نمايش مىدادند شكل مربع بدست ميآيد مانند مربع پنج بدين شكل : 00000 00000 00000 00000 00000 و از خواص اين اعداد مثلا يكى اين است كه مجموع اعداد فرد متوالى همواره يك عدد مربع است ( يعنى در واقع مجموع چند عدد فرد متوالى با مجذور تعداد آنها برابر است ) مانند : 2 . 6 36 11 9 7 3 1 به همين قرار اعداد مخمس و مسدس و مسبع و غيره نيز ميتوان تصوير كرد و هر كدام خاصيتى شبيه خواص مذكور دارند . در فضا نيز ميتوان نقاط را بر حسب اشكال هندسى پهلوى هم قرار داد و اعداد هرم و مكعب و . . . تصور كرد كه از بين آنها عدد مكعب هنوز هم مصطلح است و بجاى قوهء سوم هر عدد اصطلاحا مكعب آن عدد به كار ميرود . اين اعداد نيز هر كدام خواصى دارند مثلا از آن جمله : مجموع مكعبات اعداد صحيح متوالى با مربع مجموع آنها برابر است مانند . 441 2 . 21 2 ( 7 X 6 2 ) 2 . ( 7 5 4 3 2 1 ) 3 . 7 3 . 5 3 . 4 3 . 3 3 . 2 3 . 1 [ ؟ ] و چون توجه كنيم كه مجموع اعداد صحيح متوالى همواره يك عدد مثلث است پس نتيجه مىشود كه مجموع مكعبات اعداد صحيح متوالى برابر مربع يك عدد مثلث است .